Introduction à l'algèbre linéaire

Abstract

Ce polycopié traite du module d’algèbre linéaire. Il est le fruit de l’enseignement du module algèbre 2 en première année dans le cadre de la formation préparatoire à l’école supérieure en sciences appliquées de Tlemcen (ESSAT). Cet ouvrage est donc destiné aux premières années des classes préparatoires aux grandes écoles mais aussi aux étudiants de première année de tronc commun (MI-ST-SM). Ce manuscrit comprend 5 chapitres qui couvrent l’ensemble du programme du module algèbre 2 : Le premier chapitre présente la notion fondamentale d’espace vectoriel, on y aborde aussi les notions de familles libres, génératrices bases et dimension. De nombreux exemples sont fournies pour que l’étudiant puisse se familiariser avec ses nouvelles définitions. Le second chapitre est consacrée aux applications linéaires dans lequel on définit aussi le noyau et l’image et on caractérise les applications bijectives. Nous avons fait le choix de fournir des exemples de géométrie car l’étudiant est déjà familier avec ce types d’applications. Le troisieme chapitre traite des matrices et des déterminants, on y detaille les opérations élementaires sur les matrices comme l’addition la multiplication ainsi que l’inverse d’une matrice. Dans le quatrième chapitre on expose deux méthodes de résolution des systèmes linéaires que sont la règle de Cramer et la méthode de gauss. Enfin, dans le cinquième et dernier chapitre on aborde la notion de diagonalisation et de trigonalisation des endomorphismes avec des exemples détaillés. On a choisit de présenter au début de ce chapitre les notions de matrice de passage et de matrice associée pour d’une part tirer partie de la notion de systèmes linéaires vu au chapitre précèdent mais aussi de motiver l’introduction de la notion de réduction des endomorphismes à venir. A la fin de chaque chapitre on retrouve une série d’exercices avec leur corrigés detaillés. Comme tout travail le notre reste bien évidemment perfectible, nous invitons donc le lecteur à nous faire parvenir toute remarque ou suggestion pour améliorer notre manuscrit.